Distribució binomial

Quan és binomial

Un experiment es repeteix $n$ vegades de manera independent, cada vegada amb dos resultats possibles (èxit o fracàs) i la mateixa probabilitat d'èxit $p$. Aleshores $X$ = nombre d'èxits segueix una binomial: $X \sim B(n, p)$.

Escriu-ho així a l'examen: «$X$ = nombre de peces defectuoses, $X \sim B(5, p)$».

La fórmula

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$ El nombre combinatori compta de quantes maneres poden quedar repartits els $k$ èxits. Oblidar-lo és l'error més freqüent.

«Almenys» i «com a màxim»

• $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$: el complementari estalvia càlculs.
• $P(X \geq 4)$ amb $n = 5$: $P(X = 4) + P(X = 5)$.
• $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.

La via llarga, sumant cas per cas, també puntua al màxim.

Exemple

Cada problema de la Rut és correcte amb probabilitat $p = \tfrac{19}{30}$. De 5 problemes, almenys 4 de correctes: $$P(X \geq 4) = \binom{5}{4}p^4(1 - p) + p^5 \approx 0{,}2950 + 0{,}1019 = 0{,}3969$$