Probabilitat condicionada, total i Bayes

Probabilitat condicionada i independència

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ És la probabilitat de $A$ sabent que ha passat $B$. Per tant $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$.

$A$ i $B$ són independents si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$, és a dir, si saber que n'ha passat un no canvia la probabilitat de l'altre.

Arbre o taula

Posa nom als successos abans de res («D = la peça és defectuosa»). Després dibuixa un arbre: primera branca, els grups amb els seus percentatges; segona branca, el que passa dins de cada grup. Les branques que surten d'un mateix punt sumen 1. Si l'enunciat dona recomptes de dues característiques, una taula de contingència sol ser més clara.

Probabilitat total

Si els grups $A_1, A_2, \dots$ no se solapen i ho cobreixen tot: $$P(B) = P(A_1)\,P(B \mid A_1) + P(A_2)\,P(B \mid A_2) + \dots$$ És sumar els camins de l'arbre que acaben a $B$. La pauta paga per escriure la llei (o l'arbre), per identificar bé les dades i pel càlcul.

Teorema de Bayes

Quan coneixes l'efecte i pregunten per la causa («si la peça és defectuosa, quina probabilitat hi ha que sigui de ferro?»): $$P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)\,P(B \mid A_i)}{P(B)}$$ El denominador és la probabilitat total de l'apartat anterior. L'error típic és confondre $P(A \mid B)$ amb $P(B \mid A)$.

Exemple

El 45 % dels esportistes fa esport d'impacte ($I$); d'aquests, el 10 % té la lesió ($S$); de la resta, el 3 %.

$P(S) = 0{,}45 \cdot 0{,}10 + 0{,}55 \cdot 0{,}03 = 0{,}0615$ i $P(I \mid S) = \dfrac{0{,}045}{0{,}0615} \approx 0{,}732$.