Distàncies, projeccions i angles

Distància d'un punt a un pla

$$d(P, \pi) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ amb $P = (x_0, y_0, z_0)$ i $\pi: ax + by + cz + d = 0$. Passa-ho tot al primer membre abans de substituir.

Entre dos plans paral·lels escrits amb el mateix normal, $ax + by + cz + d_1 = 0$ i $ax + by + cz + d_2 = 0$: $\ d = \dfrac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Projecció i simètric

El punt del pla més proper a $P$ és la seva projecció ortogonal $M$:

1. Recta perpendicular al pla per $P$: $(x, y, z) = P + t\,\vec n$.
2. Substitueix a l'equació del pla i troba $t$.
3. Aquest $t$ dona el punt $M$.

El simètric de $P$ respecte del pla és $P' = 2M - P$ ($M$ és el punt mitjà de $P$ i $P'$).

Plans a una distància donada

Els plans paral·lels a $\pi: ax + by + cz + d = 0$ són $ax + by + cz + D = 0$. Perquè siguin a distància $k$, imposa $\dfrac{|D - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = k$ i tracta el valor absolut: surten dos valors, $D = d \pm k\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, un pla a cada costat.

És l'error més habitual: quedar-se'n amb un de sol. La pauta paga 0,5 per imposar l'equació amb el valor absolut ben tractat.

Angles

Són al temari, tot i que no han sortit en cap examen de 2019 a 2026:

• entre dues rectes: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$;
• entre dos plans: el mateix càlcul amb els vectors normals;
• entre una recta i un pla: $\sin\alpha = \dfrac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}$.