Rectes i plans

Equacions de la recta

Amb un punt $P = (p_1, p_2, p_3)$ i un vector director $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$:

• vectorial: $(x, y, z) = P + \lambda\,\vec v$;
• paramètriques: $x = p_1 + \lambda v_1$, $y = p_2 + \lambda v_2$, $z = p_3 + \lambda v_3$;
• contínua: $\dfrac{x - p_1}{v_1} = \dfrac{y - p_2}{v_2} = \dfrac{z - p_3}{v_3}$;
• implícites: com a intersecció de dos plans.

Equació del pla

L'equació general és $ax + by + cz + d = 0$, i $\vec n = (a, b, c)$ és el seu vector normal (perpendicular al pla).

Amb un punt $P$ i dos vectors directors $\vec u$, $\vec v$: el normal és $\vec n = \vec u \times \vec v$ i l'equació és $\vec n \cdot (X - P) = 0$. Comprova al final que els punts de l'enunciat la compleixen.

Plans que es demanen sovint

• Per tres punts $P, Q, R$: directors $\vec{PQ}$ i $\vec{PR}$.
• Perpendicular a una recta: el director de la recta és el normal del pla.
• Perpendicular a un altre pla i que conté dos punts: el normal de l'altre pla i $\vec{PQ}$ són els directors.
• Pla mediador de $AB$: normal $\vec{AB}$ i passa pel punt mitjà. Són els punts a la mateixa distància de $A$ i de $B$.
• Paral·lel a $ax + by + cz + d = 0$: $ax + by + cz + d' = 0$, amb el mateix normal.

Posicions relatives

• Dos plans: si els normals són proporcionals, són paral·lels o coincidents; si no, es tallen en una recta.
• Recta i pla: si $\vec v \cdot \vec n = 0$, la recta és paral·lela al pla o hi és continguda; si no, el talla en un punt (substitueix les paramètriques al pla).
• Dues rectes: amb els directors i un vector entre un punt de cadascuna, es distingeixen paral·leles, coincidents, secants o que s'encreuen.