Vectors a l'espai

Producte escalar

$$\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$$

• Mòdul: $|\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
• Dos vectors són perpendiculars si i només si $\vec u \cdot \vec v = 0$.

Producte vectorial

$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$ És un vector perpendicular a tots dos, i el seu mòdul és l'àrea del paral·lelogram que formen. Serveix per trobar el vector normal d'un pla a partir de dos vectors directors.

Àrees i volums

• Àrea del triangle $ABC$: $\dfrac{1}{2}\,\big|\vec{AB} \times \vec{AC}\big|$ (no oblidis l'$\frac12$).
• Volum del tetraedre $ABCD$: $\dfrac{1}{6}\,\big|\det\big(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\big)\big|$. A l'examen sovint donen aquesta fórmula a l'enunciat.

Exemple

$A = (1, 2, 3)$, $B = (-3, -2, 3)$, $C = (-7, 6, 3)$. $\vec{AB} = (-4, -4, 0)$ i $\vec{AC} = (-8, 4, 0)$, de manera que $\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 0, -48)$ i l'àrea és $\tfrac12 \cdot 48 = 24$ u².