Sistemes d'equacions

Teorema de Rouché-Frobenius

Amb $A$ la matriu de coeficients, $A^*$ l'ampliada i $n$ el nombre d'incògnites:

• $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* = n$: compatible determinat, una única solució;
• $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* < n$: compatible indeterminat, infinites solucions;
• $\operatorname{rang} A \neq \operatorname{rang} A^*$: incompatible, sense solució.

Discutir un sistema amb un paràmetre

1. Escriu $A$ i $A^*$.
2. Calcula $\det A$ en funció del paràmetre i troba els valors que l'anul·len: són els valors crítics.
3. Per als altres valors, $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* = 3$: compatible determinat.
4. Substitueix cada valor crític, calcula els dos rangs i classifica.

Cada cas val 0,25 a la pauta. Tanca'ls tots amb els rangs: «$\operatorname{rang} A = 2$, $\operatorname{rang} A^* = 3$, per tant incompatible».

Resoldre

• Compatible determinat: per Gauss (reducció) o per Cramer.
• Compatible indeterminat: queda't amb les equacions independents, anomena $t$ una incògnita i escriu les altres en funció de $t$, per exemple $(x, y, z) = (5 + t,\ 2 + t,\ t)$.

Comprova la solució a les tres equacions originals.

Interpretació geomètrica

Cada equació amb tres incògnites és un pla. Per a tres plans:

• compatible determinat: es tallen en un únic punt;
• compatible indeterminat amb rang 2: tenen una recta en comú (si dos coincideixen, el tercer els talla en aquesta recta);
• incompatible: no tenen cap punt en comú; pot ser que dos siguin paral·lels o que es tallin dos a dos formant una mena de prisma.

Ampliar o modificar el sistema

• Per fer-lo incompatible: agafa una equació que sigui combinació de les altres, conserva el costat esquerre i canvia el terme independent.
• Per afegir una equació amb una solució donada: qualsevol equació que compleixi aquesta solució i no sigui combinació de les altres.
• Si demanen solucions amb una condició extra (com $xy = 10$), substitueix la solució general i resol en $t$.