Determinants i rang

Calcular un determinant

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$ Per a una $3\times3$, la regla de Sarrus o el desenvolupament per una fila o columna. Tria la que tingui més zeros: $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

Propietats

• Si una fila (o columna) és combinació d'altres, el determinant és 0.
• Intercanviar dues files canvia el signe.
• Sumar a una fila un múltiple d'una altra no canvia el determinant: serveix per fer zeros abans de desenvolupar.

Rang

El rang és el nombre de files (o columnes) linealment independents, és a dir, l'ordre del menor no nul més gran.

En una $3\times3$: si $\det A \neq 0$, el rang és 3. Si $\det A = 0$, busca un menor $2\times2$ diferent de zero: si n'hi ha, el rang és 2.

Rang amb un paràmetre

Calcula el determinant en funció del paràmetre i busca els valors que l'anul·len. Per a la resta de valors el rang és màxim. Cada valor que l'anul·la s'estudia per separat, substituint-lo a la matriu.