Matrius

Operacions

• Suma: element a element, amb matrius de la mateixa mida.
• Producte: l'element $(i, j)$ de $AB$ és la fila $i$ de $A$ per la columna $j$ de $B$. Només es pot si les columnes de $A$ coincideixen amb les files de $B$.
• El producte no és commutatiu: en general $AB \neq BA$. Per això sovint es pregunta quan dues matrius «commuten».
• Transposada $A^t$: canviar files per columnes.

Matriu inversa

$A$ és invertible si i només si $\det A \neq 0$. Aleshores $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$.

• Per a una $2\times2$: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
• Per a una $3\times3$: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,(\operatorname{Adj} A)^t$

Comprova sempre que $A\,A^{-1} = I$.

Equacions matricials

S'aïlla multiplicant per la inversa pel costat correcte, perquè el producte no commuta: $$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$$ Des de 2025 no n'han sortit, però continuen al temari.

Propietats útils

• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ i $(AB)^t = B^tA^t$
• $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ i $\det(A^t) = \det A$
• $A^{-1} = A \iff A^2 = I$: calcula $A^2$ i iguala totes les entrades amb les de la identitat.