Integral definida i àrees

Regla de Barrow

Si $F$ és una primitiva de $f$: $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Escriu el pas intermedi $\big[F(x)\big]_a^b$: és la part que el corrector busca.

Àrea sota una corba

Si $f(x) \geq 0$ a $[a, b]$, l'àrea entre la gràfica i l'eix és $\int_a^b f(x)\,dx$.

Si $f$ canvia de signe, parteix la integral als talls amb l'eix i suma els valors absoluts. Sense partir-la, les parts positives i negatives es compensen i el resultat no és l'àrea.

Àrea entre dues corbes

1. Fes un esbós de les dues corbes (val 0,25).
2. Troba els punts de tall resolent $f(x) = g(x)$.
3. A cada tram, decideix quina corba queda a dalt.
4. Àrea $= \displaystyle\int (\text{la de dalt} - \text{la de baix})\,dx$ a cada tram, i suma.

L'àrea mai no és negativa. Si et surt negativa, has restat al revés: la pauta resta 0,25 si la dones per bona.

Exemple

Entre $f(x) = x^2 - 2x$ i $g(x) = x$: es tallen quan $x^2 - 3x = 0$, a $x = 0$ i $x = 3$. Al mig la recta queda a dalt: $$A = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}\ \text{u}^2$$