Límits i asímptotes

Asímptotes verticals

La recta $x = a$ és asímptota vertical si, en apropar-se a $a$, la funció se'n va a $+\infty$ o a $-\infty$. En una funció racional es busquen entre els valors que anul·len el denominador i no el numerador.

A la PAU cal escriure els dos límits laterals, $\lim_{x\to a^-} f(x)$ i $\lim_{x\to a^+} f(x)$. El signe surt de mirar el signe del numerador i del denominador a cada costat de $a$.

Asímptotes horitzontals

La recta $y = L$ és asímptota horitzontal si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ o $\lim_{x\to-\infty} f(x) = L$. En una racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$:

• si el grau de $P$ és més petit que el de $Q$, l'asímptota és $y = 0$;
• si els graus són iguals, $y$ = quocient dels coeficients principals;
• si el grau de $P$ és més gran, no hi ha asímptota horitzontal.

Asímptotes obliqües

Si el grau del numerador supera en un el del denominador, hi ha asímptota obliqua $y = mx + n$: $$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x\to\infty} \big(f(x) - mx\big)$$

També surt dividint: si $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$ amb el residu $R$ de grau més petit que $Q$, l'obliqua és $y = mx + n$. Per un mateix costat no hi pot haver alhora horitzontal i obliqua.

Indeterminacions

• $\dfrac{\infty}{\infty}$ en una racional: divideix numerador i denominador per la potència més alta de $x$.
• $\dfrac{0}{0}$: factoritza i simplifica el factor comú.

La regla de L'Hôpital no és matèria de l'examen a Catalunya, però la pauta l'accepta si l'apliques bé.

Exemple

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$. A $x = 1$ el numerador val 4: $\lim_{x\to1^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$, de manera que $x = 1$ és asímptota vertical. Dividint, $f(x) = x + 1 + \dfrac{4}{x - 1}$: l'asímptota obliqua és $y = x + 1$ i no n'hi ha d'horitzontal.