Continuïtat i teorema de Bolzano

Continuïtat en un punt

$f$ és contínua a $x = a$ si existeix $f(a)$, existeix $\lim_{x\to a} f(x)$ i els dos valors coincideixen.

Els polinomis, les exponencials, el sinus i el cosinus són continus a tot $\mathbb{R}$. Les racionals i els logaritmes ho són al seu domini. Les sumes, els productes i les composicions de funcions contínues són contínues.

Funcions a trossos

1. Digues que cada tram és continu al seu interval perquè és un polinomi, una exponencial… Aquesta frase puntua sola.
2. A cada punt d'unió $a$, calcula els dos límits laterals i $f(a)$.
3. Iguala'ls: amb paràmetres, cada unió dona una equació.

Perquè sigui derivable a la unió, a més de contínua, les derivades laterals han de coincidir.

Teorema de Bolzano

Si $f$ és contínua a $[a, b]$ i $f(a)$ i $f(b)$ tenen signes diferents, existeix almenys un $c \in (a, b)$ amb $f(c) = 0$.

• Per a una equació $f(x) = k$, aplica Bolzano a $g(x) = f(x) - k$.
• Per acotar l'arrel, parteix l'interval per la meitat i queda't amb la meitat on canvia el signe.
• Escriu sempre «$f$ és contínua a $[a, b]$ perquè…» abans d'avaluar.

Quantes arrels exactament?

Bolzano assegura almenys una arrel. Per dir que és l'única, demostra que la funció és estrictament creixent o decreixent a l'interval: que el signe de $f'$ no canvia.

Exemple: $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$ és contínua, $f(-2) < 0$ i $f(0) = 2 > 0$, de manera que té una arrel a $(-2, 0)$. Com que $f'(x) = 39x^{12} + 15x^2 \geq 0$, és creixent i l'arrel és única.