Derivades i recta tangent

Derivades bàsiques

Amb $u = u(x)$:

• $(x^n)' = n\,x^{n-1}$
• $(e^{u})' = u'\,e^{u}$
• $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$
• $(\sin u)' = u'\cos u$ i $(\cos u)' = -u'\sin u$
• $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Producte: $(fg)' = f'g + fg'$. Quocient: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$. Cadena: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\,g'(x)$.

Recta tangent i recta normal

El pendent de la tangent a $x = a$ és $f'(a)$: $$\text{tangent: } y - f(a) = f'(a)(x - a) \qquad \text{normal: } y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$

Si demanen una tangent paral·lela a $y = mx + n$, busca els punts amb $f'(x) = m$. Si la demanen perpendicular, $f'(x) = -\dfrac{1}{m}$.

Trobar paràmetres a partir de condicions

Cada dada de l'enunciat és una equació:

• passa pel punt $(a, b)$: $f(a) = b$;
• té un extrem a $x = a$: $f'(a) = 0$;
• té un punt d'inflexió a $x = a$: $f''(a) = 0$;
• la tangent a $x = a$ té pendent $m$: $f'(a) = m$.

Després resol el sistema i, si et sobra temps, comprova les condicions amb la funció obtinguda.

Exemple

Tangent a $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ a $x = 2$: $f(2) = 7$ i $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$, de manera que $f'(2) = -3$. La tangent és $y - 7 = -3(x - 2)$, és a dir, $y = -3x + 13$.