Monotonia, extrems i curvatura

Creixement i decreixement

Si $f'(x) > 0$ en un interval, $f$ creix; si $f'(x) < 0$, decreix.

Fes una taula de signes de $f'$ amb els punts crítics (on $f'(x) = 0$) i els punts que no són al domini: també separen intervals.

Màxims i mínims relatius

En un punt crític $a$:

• si $f'$ passa de $+$ a $-$, hi ha un màxim; si passa de $-$ a $+$, un mínim;
• si $f'$ no canvia de signe, no hi ha extrem (encara que $f'(a) = 0$);
• amb la segona derivada: $f''(a) < 0$ és màxim i $f''(a) > 0$, mínim.

Dona sempre el punt complet: $(a, f(a))$.

Curvatura i punts d'inflexió

On $f''(x) > 0$ la gràfica té forma de $\cup$; on $f''(x) < 0$, forma de $\cap$. Un punt d'inflexió és on $f''$ canvia de signe.

Cada llibre anomena «còncava» i «convexa» una de les dues formes: escriu sempre a quina et refereixes (forma de $\cup$ o de $\cap$) i no hi haurà dubtes.

Llegir la gràfica de f′

De vegades et donen la gràfica de la derivada, no la de la funció:

• on la gràfica de $f'$ és per sobre de l'eix, $f$ creix; per sota, decreix;
• on $f'$ talla l'eix canviant de signe, $f$ té un màxim o un mínim;
• on $f'$ té un màxim o un mínim, $f$ té un punt d'inflexió;
• el valor de $f'(a)$ que llegeixes a la gràfica és el pendent de la tangent a $f$ a $x = a$.

Esbós d'una funció

1. Domini i punts de tall amb els eixos.
2. Asímptotes.
3. Monotonia i extrems (amb $f'$).
4. Si ho demanen, curvatura (amb $f''$).
5. Dibuixa: primer les asímptotes i els punts, després uneix respectant el creixement.