Optimització

El mètode, pas a pas

1. Fes un dibuix i posa nom a les variables, amb unitats.
2. Escriu la magnitud que cal optimitzar (àrea, cost, volum…) en funció de les variables.
3. Fes servir la dada que les relaciona (la «lligadura») per deixar-la en una sola variable.
4. Indica el domini: els valors amb sentit (longituds positives, etc.).
5. Deriva i iguala a zero.
6. Justifica que és un màxim o un mínim.
7. Respon la pregunta amb totes les magnituds i les seves unitats.

Justificar el màxim o el mínim

Val tant com derivar. Hi ha dues maneres:

• amb la segona derivada: $f''(a) > 0$ és mínim, $f''(a) < 0$ és màxim;
• amb el signe de $f'$ a cada costat del punt.

Si la variable és en un interval tancat, compara també amb els valors als extrems de l'interval: el màxim o el mínim absolut hi pot ser.

«Comproveu que…»

Molts problemes comencen demanant que comprovis la fórmula de la funció. Si no et surt, fes-la servir igualment a l'apartat següent: el que hi facis es puntua.

Exemple

Dipòsit sense tapa de base quadrada i 32 m³. Amb costat $x$ i altura $h$: $x^2h = 32$, de manera que $h = \dfrac{32}{x^2}$ i la xapa és $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$.

$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \iff x = 4$, i $S''(x) = 2 + \dfrac{256}{x^3} > 0$: és un mínim. Base de 4 m × 4 m, altura 2 m i 48 m² de xapa.