Distribución binomial

Cuándo es binomial

Un experimento se repite $n$ veces de forma independiente, cada vez con dos resultados posibles (éxito o fracaso) y la misma probabilidad de éxito $p$. Entonces $X$ = número de éxitos sigue una binomial: $X \sim B(n, p)$.

Escríbelo así en el examen: «$X$ = número de piezas defectuosas, $X \sim B(5, p)$».

La fórmula

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$ El número combinatorio cuenta de cuántas maneras pueden quedar repartidos los $k$ éxitos. Olvidarlo es el error más frecuente.

«Al menos» y «como máximo»

• $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$: el complementario ahorra cuentas.
• $P(X \geq 4)$ con $n = 5$: $P(X = 4) + P(X = 5)$.
• $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.

La vía larga, sumando caso a caso, también puntúa al máximo.

Ejemplo

Cada problema de Rut es correcto con probabilidad $p = \tfrac{19}{30}$. De 5 problemas, al menos 4 correctos: $$P(X \geq 4) = \binom{5}{4}p^4(1 - p) + p^5 \approx 0{,}2950 + 0{,}1019 = 0{,}3969$$