Probabilidad condicionada, total y Bayes

Probabilidad condicionada e independencia

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Es la probabilidad de $A$ sabiendo que ha pasado $B$. Por tanto $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$.

$A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$, es decir, si saber que ha pasado uno no cambia la probabilidad del otro.

Árbol o tabla

Pon nombre a los sucesos antes de nada («D = la pieza es defectuosa»). Después dibuja un árbol: primera rama, los grupos con sus porcentajes; segunda rama, lo que pasa dentro de cada grupo. Las ramas que salen de un mismo punto suman 1. Si el enunciado da recuentos de dos características, una tabla de contingencia suele ser más clara.

Probabilidad total

Si los grupos $A_1, A_2, \dots$ no se solapan y lo cubren todo: $$P(B) = P(A_1)\,P(B \mid A_1) + P(A_2)\,P(B \mid A_2) + \dots$$ Es sumar los caminos del árbol que acaban en $B$. La pauta paga por escribir la ley (o el árbol), por identificar bien los datos y por el cálculo.

Teorema de Bayes

Cuando conoces el efecto y preguntan por la causa («si la pieza es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que sea de hierro?»): $$P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)\,P(B \mid A_i)}{P(B)}$$ El denominador es la probabilidad total del apartado anterior. El error típico es confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$.

Ejemplo

El 45 % de los deportistas hace deporte de impacto ($I$); de ellos, el 10 % tiene la lesión ($S$); del resto, el 3 %.

$P(S) = 0{,}45 \cdot 0{,}10 + 0{,}55 \cdot 0{,}03 = 0{,}0615$ y $P(I \mid S) = \dfrac{0{,}045}{0{,}0615} \approx 0{,}732$.