Distancias, proyecciones y ángulos

Distancia de un punto a un plano

$$d(P, \pi) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ con $P = (x_0, y_0, z_0)$ y $\pi: ax + by + cz + d = 0$. Pasa todo al primer miembro antes de sustituir.

Entre dos planos paralelos escritos con el mismo normal, $ax + by + cz + d_1 = 0$ y $ax + by + cz + d_2 = 0$: $\ d = \dfrac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Proyección y simétrico

El punto del plano más cercano a $P$ es su proyección ortogonal $M$:

1. Recta perpendicular al plano por $P$: $(x, y, z) = P + t\,\vec n$.
2. Sustituye en la ecuación del plano y halla $t$.
3. Ese $t$ da el punto $M$.

El simétrico de $P$ respecto del plano es $P' = 2M - P$ ($M$ es el punto medio de $P$ y $P'$).

Planos a una distancia dada

Los planos paralelos a $\pi: ax + by + cz + d = 0$ son $ax + by + cz + D = 0$. Para que estén a distancia $k$, impón $\dfrac{|D - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = k$ y trata el valor absoluto: salen dos valores, $D = d \pm k\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, un plano a cada lado.

Es el error más habitual: quedarse con uno solo. La pauta paga 0,5 por imponer la ecuación con el valor absoluto bien tratado.

Ángulos

Entran en el temario, aunque no han salido en ningún examen de 2019 a 2026:

• entre dos rectas: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$;
• entre dos planos: el mismo cálculo con los vectores normales;
• entre una recta y un plano: $\sin\alpha = \dfrac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}$.