Rectas y planos

Ecuaciones de la recta

Con un punto $P = (p_1, p_2, p_3)$ y un vector director $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$:

• vectorial: $(x, y, z) = P + \lambda\,\vec v$;
• paramétricas: $x = p_1 + \lambda v_1$, $y = p_2 + \lambda v_2$, $z = p_3 + \lambda v_3$;
• continua: $\dfrac{x - p_1}{v_1} = \dfrac{y - p_2}{v_2} = \dfrac{z - p_3}{v_3}$;
• implícitas: como intersección de dos planos.

Ecuación del plano

La ecuación general es $ax + by + cz + d = 0$, y $\vec n = (a, b, c)$ es su vector normal (perpendicular al plano).

Con un punto $P$ y dos vectores directores $\vec u$, $\vec v$: el normal es $\vec n = \vec u \times \vec v$ y la ecuación es $\vec n \cdot (X - P) = 0$. Comprueba al final que los puntos del enunciado la cumplen.

Planos que se piden a menudo

• Por tres puntos $P, Q, R$: directores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$.
• Perpendicular a una recta: el director de la recta es el normal del plano.
• Perpendicular a otro plano y que contiene dos puntos: el normal del otro plano y $\vec{PQ}$ son los directores.
• Plano mediador de $AB$: normal $\vec{AB}$ y pasa por el punto medio. Son los puntos a igual distancia de $A$ y de $B$.
• Paralelo a $ax + by + cz + d = 0$: $ax + by + cz + d' = 0$, con el mismo normal.

Posiciones relativas

• Dos planos: si los normales son proporcionales, son paralelos o coincidentes; si no, se cortan en una recta.
• Recta y plano: si $\vec v \cdot \vec n = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él; si no, lo corta en un punto (sustituye las paramétricas en el plano).
• Dos rectas: con los directores y un vector entre un punto de cada una, se distinguen paralelas, coincidentes, secantes o que se cruzan.