Vectores en el espacio

Producto escalar

$$\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$$

• Módulo: $|\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
• Dos vectores son perpendiculares si y solo si $\vec u \cdot \vec v = 0$.

Producto vectorial

$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$ Es un vector perpendicular a los dos, y su módulo es el área del paralelogramo que forman. Sirve para hallar el vector normal de un plano a partir de dos vectores directores.

Áreas y volúmenes

• Área del triángulo $ABC$: $\dfrac{1}{2}\,\big|\vec{AB} \times \vec{AC}\big|$ (no olvides el $\frac12$).
• Volumen del tetraedro $ABCD$: $\dfrac{1}{6}\,\big|\det\big(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\big)\big|$. En el examen suelen dar esta fórmula en el enunciado.

Ejemplo

$A = (1, 2, 3)$, $B = (-3, -2, 3)$, $C = (-7, 6, 3)$. $\vec{AB} = (-4, -4, 0)$ y $\vec{AC} = (-8, 4, 0)$, así que $\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 0, -48)$ y el área es $\tfrac12 \cdot 48 = 24$ u².