Sistemas de ecuaciones

Teorema de Rouché-Frobenius

Con $A$ la matriz de coeficientes, $A^*$ la ampliada y $n$ el número de incógnitas:

• $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* = n$: compatible determinado, una única solución;
• $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* < n$: compatible indeterminado, infinitas soluciones;
• $\operatorname{rang} A \neq \operatorname{rang} A^*$: incompatible, sin solución.

Discutir un sistema con un parámetro

1. Escribe $A$ y $A^*$.
2. Calcula $\det A$ en función del parámetro y halla los valores que lo anulan: son los valores críticos.
3. Para los demás valores, $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A^* = 3$: compatible determinado.
4. Sustituye cada valor crítico, calcula los dos rangos y clasifica.

Cada caso vale 0,25 en la pauta. Cierra cada uno con los rangos: «$\operatorname{rang} A = 2$, $\operatorname{rang} A^* = 3$, por tanto incompatible».

Resolver

• Compatible determinado: por Gauss (reducción) o por Cramer.
• Compatible indeterminado: quédate con las ecuaciones independientes, llama $t$ a una incógnita y escribe las demás en función de $t$, por ejemplo $(x, y, z) = (5 + t,\ 2 + t,\ t)$.

Comprueba la solución en las tres ecuaciones originales.

Interpretación geométrica

Cada ecuación con tres incógnitas es un plano. Para tres planos:

• compatible determinado: se cortan en un único punto;
• compatible indeterminado con rango 2: tienen una recta en común (si dos coinciden, el tercero los corta en esa recta);
• incompatible: no tienen ningún punto en común; puede ser que dos sean paralelos o que se corten dos a dos formando una especie de prisma.

Ampliar o modificar el sistema

• Para hacerlo incompatible: toma una ecuación que sea combinación de las otras, conserva el lado izquierdo y cambia el término independiente.
• Para añadir una ecuación con una solución dada: cualquier ecuación que cumpla esa solución y no sea combinación de las otras.
• Si piden soluciones con una condición extra (como $xy = 10$), sustituye la solución general y resuelve en $t$.