Determinantes y rango

Calcular un determinante

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$ Para una $3\times3$, la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila o columna. Elige la que tenga más ceros: $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

Propiedades

• Si una fila (o columna) es combinación de otras, el determinante es 0.
• Intercambiar dos filas cambia el signo.
• Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante: sirve para hacer ceros antes de desarrollar.

Rango

El rango es el número de filas (o columnas) linealmente independientes, es decir, el orden del mayor menor no nulo.

En una $3\times3$: si $\det A \neq 0$, el rango es 3. Si $\det A = 0$, busca un menor $2\times2$ distinto de cero: si lo hay, el rango es 2.

Rango con un parámetro

Calcula el determinante en función del parámetro y busca los valores que lo anulan. Para el resto de valores el rango es máximo. Cada valor que lo anula se estudia por separado, sustituyéndolo en la matriz.