Matrices

Operaciones

• Suma: elemento a elemento, con matrices del mismo tamaño.
• Producto: el elemento $(i, j)$ de $AB$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$. Solo se puede si las columnas de $A$ coinciden con las filas de $B$.
• El producto no es conmutativo: en general $AB \neq BA$. Por eso se pregunta a menudo cuándo dos matrices «conmutan».
• Traspuesta $A^t$: cambiar filas por columnas.

Matriz inversa

$A$ es invertible si y solo si $\det A \neq 0$. Entonces $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$.

• Para una $2\times2$: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
• Para una $3\times3$: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,(\operatorname{Adj} A)^t$

Comprueba siempre que $A\,A^{-1} = I$.

Ecuaciones matriciales

Se despeja multiplicando por la inversa por el lado correcto, porque el producto no conmuta: $$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}$$ Desde 2025 no han salido, pero siguen en el temario.

Propiedades útiles

• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ y $(AB)^t = B^tA^t$
• $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ y $\det(A^t) = \det A$
• $A^{-1} = A \iff A^2 = I$: calcula $A^2$ e iguala todas las entradas con las de la identidad.