Integral definida y áreas

Regla de Barrow

Si $F$ es una primitiva de $f$: $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Escribe el paso intermedio $\big[F(x)\big]_a^b$: es la parte que el corrector busca.

Área bajo una curva

Si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$, el área entre la gráfica y el eje es $\int_a^b f(x)\,dx$.

Si $f$ cambia de signo, parte la integral en los cortes con el eje y suma los valores absolutos. Sin partir, las partes positivas y negativas se compensan y el resultado no es el área.

Área entre dos curvas

1. Haz un esbozo de las dos curvas (vale 0,25).
2. Halla los puntos de corte resolviendo $f(x) = g(x)$.
3. En cada tramo, decide qué curva queda arriba.
4. Área $= \displaystyle\int (\text{la de arriba} - \text{la de abajo})\,dx$ en cada tramo, y suma.

El área nunca es negativa. Si te sale negativa, has restado al revés: la pauta resta 0,25 si lo das por bueno.

Ejemplo

Entre $f(x) = x^2 - 2x$ y $g(x) = x$: se cortan cuando $x^2 - 3x = 0$, en $x = 0$ y $x = 3$. En medio la recta queda arriba: $$A = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}\ \text{u}^2$$