Límites y asíntotas

Asíntotas verticales

La recta $x = a$ es asíntota vertical si, al acercarse a $a$, la función se va a $+\infty$ o a $-\infty$. En una función racional se buscan entre los valores que anulan el denominador y no el numerador.

En la PAU hay que escribir los dos límites laterales, $\lim_{x\to a^-} f(x)$ y $\lim_{x\to a^+} f(x)$. Su signo sale de mirar el signo del numerador y del denominador a cada lado de $a$.

Asíntotas horizontales

La recta $y = L$ es asíntota horizontal si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ o $\lim_{x\to-\infty} f(x) = L$. En una racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$:

• si el grado de $P$ es menor que el de $Q$, la asíntota es $y = 0$;
• si los grados son iguales, $y$ = cociente de los coeficientes principales;
• si el grado de $P$ es mayor, no hay asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas

Si el grado del numerador supera en uno al del denominador, hay asíntota oblicua $y = mx + n$: $$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x\to\infty} \big(f(x) - mx\big)$$

También sale dividiendo: si $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$ con el resto $R$ de grado menor que $Q$, la oblicua es $y = mx + n$. Por un mismo lado no puede haber a la vez horizontal y oblicua.

Indeterminaciones

• $\dfrac{\infty}{\infty}$ en una racional: divide numerador y denominador por la potencia más alta de $x$.
• $\dfrac{0}{0}$: factoriza y simplifica el factor común.

La regla de L'Hôpital no es materia del examen en Cataluña, pero la pauta la acepta si la aplicas bien.

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$. En $x = 1$ el numerador vale 4: $\lim_{x\to1^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$, así que $x = 1$ es asíntota vertical. Dividiendo, $f(x) = x + 1 + \dfrac{4}{x - 1}$: la asíntota oblicua es $y = x + 1$ y no hay horizontal.