Continuidad y teorema de Bolzano

Continuidad en un punto

$f$ es continua en $x = a$ si existe $f(a)$, existe $\lim_{x\to a} f(x)$ y los dos valores coinciden.

Los polinomios, las exponenciales, el seno y el coseno son continuos en todo $\mathbb{R}$. Las racionales y los logaritmos lo son en su dominio. Sumas, productos y composiciones de funciones continuas son continuas.

Funciones a trozos

1. Di que cada tramo es continuo en su intervalo porque es un polinomio, una exponencial… Esta frase puntúa sola.
2. En cada punto de unión $a$, calcula los dos límites laterales y $f(a)$.
3. Iguálalos: con parámetros, cada unión da una ecuación.

Para que sea derivable en la unión, además de continua, las derivadas laterales tienen que coincidir.

Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos, existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f(c) = 0$.

• Para una ecuación $f(x) = k$, aplica Bolzano a $g(x) = f(x) - k$.
• Para acotar la raíz, parte el intervalo por la mitad y quédate con la mitad en la que cambia el signo.
• Escribe siempre «$f$ es continua en $[a, b]$ porque…» antes de evaluar.

¿Cuántas raíces exactamente?

Bolzano asegura al menos una raíz. Para decir que es la única, demuestra que la función es estrictamente creciente o decreciente en el intervalo: que el signo de $f'$ no cambia.

Ejemplo: $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$ es continua, $f(-2) < 0$ y $f(0) = 2 > 0$, así que tiene una raíz en $(-2, 0)$. Como $f'(x) = 39x^{12} + 15x^2 \geq 0$, es creciente y la raíz es única.