Derivadas y recta tangente

Derivadas básicas

Con $u = u(x)$:

• $(x^n)' = n\,x^{n-1}$
• $(e^{u})' = u'\,e^{u}$
• $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$
• $(\sin u)' = u'\cos u$ y $(\cos u)' = -u'\sin u$
• $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Producto: $(fg)' = f'g + fg'$. Cociente: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$. Cadena: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\,g'(x)$.

Recta tangente y recta normal

La pendiente de la tangente en $x = a$ es $f'(a)$: $$\text{tangente: } y - f(a) = f'(a)(x - a) \qquad \text{normal: } y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$

Si piden una tangente paralela a $y = mx + n$, busca los puntos con $f'(x) = m$. Si la piden perpendicular, $f'(x) = -\dfrac{1}{m}$.

Hallar parámetros a partir de condiciones

Cada dato del enunciado es una ecuación:

• pasa por el punto $(a, b)$: $f(a) = b$;
• tiene un extremo en $x = a$: $f'(a) = 0$;
• tiene un punto de inflexión en $x = a$: $f''(a) = 0$;
• la tangente en $x = a$ tiene pendiente $m$: $f'(a) = m$.

Después resuelve el sistema y, si sobra tiempo, comprueba las condiciones con la función obtenida.

Ejemplo

Tangente a $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ en $x = 2$: $f(2) = 7$ y $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$, así que $f'(2) = -3$. La tangente es $y - 7 = -3(x - 2)$, es decir, $y = -3x + 13$.