Monotonía, extremos y curvatura

Crecimiento y decrecimiento

Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, $f$ crece; si $f'(x) < 0$, decrece.

Haz una tabla de signos de $f'$ con los puntos críticos (donde $f'(x) = 0$) y los puntos que no están en el dominio: también separan intervalos.

Máximos y mínimos relativos

En un punto crítico $a$:

• si $f'$ pasa de $+$ a $-$, hay un máximo; si pasa de $-$ a $+$, un mínimo;
• si $f'$ no cambia de signo, no hay extremo (aunque $f'(a) = 0$);
• con la segunda derivada: $f''(a) < 0$ es máximo y $f''(a) > 0$, mínimo.

Da siempre el punto completo: $(a, f(a))$.

Curvatura y puntos de inflexión

Donde $f''(x) > 0$ la gráfica tiene forma de $\cup$; donde $f''(x) < 0$, forma de $\cap$. Un punto de inflexión es donde $f''$ cambia de signo.

Cada libro llama «cóncava» y «convexa» a una de las dos formas: escribe siempre a cuál te refieres (forma de $\cup$ o de $\cap$) y no habrá dudas.

Leer la gráfica de f′

A veces te dan la gráfica de la derivada, no la de la función:

• donde la gráfica de $f'$ está por encima del eje, $f$ crece; por debajo, decrece;
• donde $f'$ corta el eje cambiando de signo, $f$ tiene un máximo o un mínimo;
• donde $f'$ tiene un máximo o un mínimo, $f$ tiene un punto de inflexión;
• el valor de $f'(a)$ que lees en la gráfica es la pendiente de la tangente a $f$ en $x = a$.

Esbozo de una función

1. Dominio y puntos de corte con los ejes.
2. Asíntotas.
3. Monotonía y extremos (con $f'$).
4. Si lo piden, curvatura (con $f''$).
5. Dibuja: primero las asíntotas y los puntos, después une respetando el crecimiento.