Optimización

El método, paso a paso

1. Haz un dibujo y pon nombre a las variables, con unidades.
2. Escribe la magnitud que hay que optimizar (área, coste, volumen…) en función de las variables.
3. Usa el dato que las relaciona (la «ligadura») para dejarla en una sola variable.
4. Indica el dominio: los valores con sentido (longitudes positivas, etc.).
5. Deriva e iguala a cero.
6. Justifica que es un máximo o un mínimo.
7. Responde a la pregunta con todas las magnitudes y sus unidades.

Justificar el máximo o el mínimo

Vale tanto como derivar. Hay dos formas:

• con la segunda derivada: $f''(a) > 0$ es mínimo, $f''(a) < 0$ es máximo;
• con el signo de $f'$ a cada lado del punto.

Si la variable está en un intervalo cerrado, compara también con los valores en los extremos del intervalo: el máximo o el mínimo absoluto puede estar ahí.

«Compruebe que…»

Muchos problemas empiezan pidiendo que compruebes la fórmula de la función. Si no te sale, úsala igualmente en el apartado siguiente: lo que hagas con ella se puntúa.

Ejemplo

Depósito sin tapa de base cuadrada y 32 m³. Con lado $x$ y altura $h$: $x^2h = 32$, así que $h = \dfrac{32}{x^2}$ y la chapa es $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$.

$S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \iff x = 4$, y $S''(x) = 2 + \dfrac{256}{x^3} > 0$: es un mínimo. Base de 4 m × 4 m, altura 2 m y 48 m² de chapa.