Exercici 4, opció B

Matrius que commuten i A⁻¹ = A

Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix}$ , on $a$ és un paràmetre real, i $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

PAU de Catalunya, 2025, convocatòria ordinària, Sèrie 4 (tribunal especial), exercici 4B. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Necessites repassar? Matrius · Determinants i rang

Apartat a [0,75 punts]

Matrius: rang, inversa i propietats

Trobeu els valors de $a$ que fan que les matrius $A$ i $B$ commutin. (Dues matrius $A$ i $B$ commuten si $AB = BA$ .)

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Valors de a (separa’ls amb ;)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béCalcules els dos productes AB i BA. +0,25Iguales entrades i obtens els valors de a. +0,5

Apartat b [0,75 punts]

Matrius: rang, inversa i propietats

Trobeu els valors de $a$ per als quals la matriu $A$ és invertible.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

A és invertible…

per a tot asi i només si a ≠ 0si i només si a ≠ 0 i a ≠ 1per a cap a

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béCalcules el determinant de A. +0,25Conclous per a quins valors és invertible. +0,5

Apartat c [1 punts]

Matrius: rang, inversa i propietats

Trobeu els valors de $a$ per als quals $A^{-1} = A$ .

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Valors de a (separa’ls amb ;)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béTradueixes la condició a A² = I (amb A invertible). +0,25Calcules A² i l’iguales a la identitat. +0,25Resols el sistema i descartes els valors que no compleixen totes les equacions. +0,5