Ejercicio 4, opción B

Matrices que conmutan y A⁻¹ = A

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a^2 \end{pmatrix}$ , donde $a$ es un parámetro real, y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

PAU de Cataluña, 2025, convocatoria ordinaria, Sèrie 4 (tribunal especial), ejercicio 4B. Texto oficial en castellano. Fuente: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciado, original en catalán y pauta de corrección; consultado el 14/10/2026.

¿Necesitas repasar? Matrices · Determinantes y rango

Apartado a [0,75 puntos]

Matrices: rango, inversa y propiedades

Encuentre los valores de $a$ para los cuales las matrices $A$ y $B$ conmutan. (Dos matrices $A$ y $B$ conmutan si $AB = BA$ .)

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

Valores de a (sepáralos con ;)

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas los dos productos AB y BA. +0,25Igualas entradas y obtienes los valores de a. +0,5

Apartado b [0,75 puntos]

Matrices: rango, inversa y propiedades

Encuentre los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

A es invertible…

para todo asi y solo si a ≠ 0si y solo si a ≠ 0 y a ≠ 1para ningún a

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas el determinante de A. +0,25Concluyes para qué valores es invertible. +0,5

Apartado c [1 puntos]

Matrices: rango, inversa y propiedades

Encuentre los valores de $a$ para los cuales $A^{-1} = A$ .

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

Valores de a (sepáralos con ;)

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienTraduces la condición a A² = I (con A invertible). +0,25Calculas A² e igualas a la identidad. +0,25Resuelves el sistema y descartas los valores que no cumplen todas las ecuaciones. +0,5