Exercici 1 (anàlisi)

f(x) = 2 a (−1, 0) i l’àrea entre f i h

Sigui la funció $f(x)$ definida per $f(x) = -3x + e^{2x^3 - 1}$ .

PAU de Catalunya, 2023, convocatòria extraordinària, Sèrie 2, qüestió 4. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Necessites repassar? Continuïtat i teorema de Bolzano · Primitives · Integral definida i àrees

Apartat a [1,25 punts]

Teorema de Bolzano i nombre d’arrels

Justifiqueu que $f(x) = 2$ té una solució a l'interval $(-1, 0)$ .

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

g(0) = f(0) − 2 (amb tres decimals)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béDefineixes una funció auxiliar g(x) = f(x) − 2. +0,25Justifiques que g és contínua a [−1, 0]. +0,25Calcules els signes de g als extrems. +0,5Conclous amb el teorema de Bolzano. +0,25

Apartat b [1,25 punts]

Àrees amb integrals i primitives

Sigui la funció $h(x) = -3x^2 + e^{2x^3 - 1}$ . Calculeu l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $h(x)$ .

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Abscisses dels punts de tall (separa-les amb ;)

Àrea (u²)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béTrobes els punts de tall de les dues gràfiques. +0,25Plantejes l'àrea com a integral de la diferència, amb la funció de dalt menys la de baix. +0,25Calcules la integral. +0,5Dones l'àrea (positiva). +0,25