Bolzano i l’única arrel de 3x¹³ + 5x³ + 2 (PAU 2024)

PAU de Catalunya, 2024, convocatòria extraordinària, Sèrie 3, qüestió 1. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Apartat a [1,25 punts]

Teorema de Bolzano i nombre d’arrels

Justifiqueu que la seva gràfica talla l'eix de les abscisses en un punt de l'interval $[-2, 0]$ . Doneu un interval de longitud $0{,}5$ on es trobi aquest punt de tall.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Quin interval de longitud 0,5 conté l'arrel?

[−2, −1,5][−1,5, −1][−1, −0,5][−0,5, 0]

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béJustifiques que es pot aplicar el teorema de Bolzano (f és contínua a l'interval). +0,25Mostres el canvi de signe a [−2, 0] i conclous que hi ha una arrel. +0,5Afines fins a un interval de longitud 0,5. +0,5

Apartat b [1,25 punts]

Estudi d'una funció: asímptotes, monotonia i extrems Teorema de Bolzano i nombre d’arrels

Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de $y = f(x)$ . Quants punts de tall té exactament la gràfica d'aquesta funció amb l'eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta.

Fa servir el resultat de l'apartat a. Si no el tens, continua igualment: a la PAU es puntua.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

La funció f és…

creixent a tot ℝdecreixent a tot ℝdecreixent i després creixentcreixent i després decreixent

Nombre de punts de tall amb l'eix X

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béCalcules la derivada. +0,25Dedueixes la monotonia de f. +0,25Conclous que no té màxims ni mínims. +0,25Justifiques quantes arrels té exactament. +0,5