Exercici 3 (probabilitat + un altre bloc) · amb context

Sesamoïditis i les sabatilles amb amortiment

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l'os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d'impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d'esportistes, s'ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d'impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S'ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d'impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d'impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l'atzar.

PAU de Catalunya, 2025, convocatòria extraordinària, Sèrie 3, exercici 3. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Necessites repassar? Probabilitat condicionada, total i Bayes · Derivades i recta tangent

Apartat a [0,75 punts]

Probabilitat total i Bayes

Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis?

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

P(sesamoïditis)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béPlantejes la llei de la probabilitat total o un arbre. +0,25Identifiques correctament les dades. +0,25Calcules la probabilitat. +0,25

Apartat b [0,75 punts]

Probabilitat total i Bayes

Si l'esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d'impacte?

Fa servir el resultat de l'apartat a. Si no el tens, continua igualment: a la PAU es puntua.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

P(impacte | sesamoïditis)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béPlantejes correctament la fórmula de Bayes (o de la probabilitat condicionada). +0,25Calcules la probabilitat. +0,5

Apartat c [1 punts]

Trobar paràmetres d'una funció a partir de condicions

Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d'aquest producte, en milers d'euros, segueixen una funció de la forma $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ , on $x$ són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i $a$ , $b$ i $c$ són constants reals. Calculeu els valors de $a$ , $b$ i $c$ sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d'inflexió en els beneficis.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Valors de a, b i c

a =b =c =

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béImposes f′(1) = 0. +0,25Imposes f(1) = 8 (en milers d'euros). +0,25Imposes f″(2) = 0. +0,25Resols el sistema. +0,25