Ejercicio 4, opción B

Plano mediador y triángulo isósceles

Considere los puntos $A = (1, 2, 3)$ y $B = (-3, -2, 3)$ .

PAU de Cataluña, 2024, convocatoria ordinaria, Sèrie 1, cuestión 6. Texto oficial en castellano. Fuente: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciado, original en catalán y pauta de corrección; consultado el 14/10/2026.

¿Necesitas repasar? Rectas y planos · Distancias, proyecciones y ángulos · Vectores en el espacio

Apartado a [1 puntos]

Ecuaciones de planos y rectas

Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$ . Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$ , es decir, $d(P, A) = d(P, B)$ .

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

Plano π

x +y +z =

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas el vector AB y el punto medio. +0,25Escribes la ecuación del plano. +0,25Justificas que d(P, A) = d(P, B) lleva a la misma ecuación. +0,5

Apartado b [0,75 puntos]

Distancias, proyecciones y planos a una distancia dada

Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.

Usa el resultado del apartado a. Si no lo tienes, sigue igualmente: en la PAU se puntúa.

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

d(A, π)

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas las dos distancias. +0,5Razonas por qué no es casualidad. +0,25

Apartado c [0,75 puntos]

Áreas y volúmenes con vectores

Sea $C = (-7, 6, 3)$ . ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área.

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

¿Es isósceles?

SíNo

Área del triángulo (u²)

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas los lados y decides si es isósceles. +0,25Calculas el área. +0,5