Bolzano y la única raíz de 3x¹³ + 5x³ + 2 (PAU 2024)

PAU de Cataluña, 2024, convocatoria extraordinaria, Sèrie 3, cuestión 1. Texto oficial en castellano. Fuente: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciado, original en catalán y pauta de corrección; consultado el 14/10/2026.

Apartado a [1,25 puntos]

Teorema de Bolzano y número de raíces

Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo $[-2, 0]$ . Dé un intervalo de longitud $0{,}5$ donde se encuentre este punto de corte.

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

¿Qué intervalo de longitud 0,5 contiene la raíz?

[−2, −1,5][−1,5, −1][−1, −0,5][−0,5, 0]

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienJustificas que se puede aplicar el teorema de Bolzano (f es continua en el intervalo). +0,25Muestras el cambio de signo en [−2, 0] y concluyes que hay una raíz. +0,5Afinas hasta un intervalo de longitud 0,5. +0,5

Apartado b [1,25 puntos]

Estudio de una función: asíntotas, monotonía y extremos Teorema de Bolzano y número de raíces

Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y = f(x)$ . ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique su respuesta.

Usa el resultado del apartado a. Si no lo tienes, sigue igualmente: en la PAU se puntúa.

Resuélvelo en papel, como en el examen, explicando qué haces y por qué. Después escribe aquí tus resultados.

Tus resultados

La función f es…

creciente en todo ℝdecreciente en todo ℝdecreciente y después crecientecreciente y después decreciente

Número de puntos de corte con el eje X

Antes de ver la solución, marca lo que crees que has hecho bienCalculas la derivada. +0,25Deduces la monotonía de f. +0,25Concluyes que no tiene máximos ni mínimos. +0,25Justificas cuántas raíces tiene exactamente. +0,5