Exercici 2 (àlgebra o geometria)

Sistema amb p² i la condició xy = 10

Considereu el sistema d'equacions lineals següent: {y−z=p+3p2x−z=5x−y=3\begin{cases} y - z = p + 3 \\ p^2x - z = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}

PAU de Catalunya, 2025, convocatòria ordinària, Sèrie 1, exercici 2. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Necessites repassar? Sistemes d'equacions · Determinants i rang · Rectes i plans

Apartat a [1,25 punts]

Discutir un sistema amb un paràmetre

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre pp.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Per a p diferent dels valors crítics, el sistema és…
Per al valor crític més petit, el sistema és…
Per al valor crític més gran, el sistema és…
Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet bé

Apartat b [0,5 punts]

Resoldre un sistema i interpretar-lo com a plans

Resoleu el sistema per al cas p=−1p = -1.

Fa servir el resultat de l'apartat a. Si no el tens, continua igualment: a la PAU es puntua.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Escriu la solució que té z = 0
x =y =z =
Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet bé

Apartat c [0,75 punts]

Ampliar o modificar un sistema

Per al cas p=−1p = -1, hi ha alguna solució que compleixi, a més, xy=10xy = 10? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n'hi ha i trobeu-les totes.

Fa servir el resultat de l'apartat b. Si no el tens, continua igualment: a la PAU es puntua.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet bé