Exercici 3 (probabilitat + un altre bloc) · amb context

Peces de ferro, acer i titani

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d'acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d'acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d'acer són defectuoses.

PAU de Catalunya, 2025, convocatòria ordinària, Sèrie 1, exercici 3. Enunciat original. Font: Generalitat de Catalunya, Canal Universitats: enunciat, versió oficial en castellà, pauta de correcció; consultat el 14/10/2026.

Necessites repassar? Probabilitat condicionada, total i Bayes · Distribució binomial · Optimització

Apartat a [0,75 punts]

Probabilitat total i Bayes

Si agafem una peça a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa?

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

P(defectuosa)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béPlantejes la llei de la probabilitat total o dibuixes l'arbre. +0,25Identifiques bé les dades (compte amb els complementaris). +0,25Calcules la probabilitat. +0,25

Apartat b [0,75 punts]

Distribució binomial

L'empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut $p$ , i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l'expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n'hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de $p$ ) és $f(p) = 5(p^4 - p^5)$ .

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

Quin nombre combinatori hi apareix?

14510

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béDefineixes la variable i reconeixes una binomial amb els seus paràmetres. +0,25Escrius la fórmula de la binomial amb el nombre combinatori. +0,25Desenvolupes fins a arribar a l'expressió demanada. +0,25

Apartat c [1 punts]

Optimització i extrems absoluts

Considereu la funció $f(p)$ de l'apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren $f(p)$ quan $p \geq 0$ .

Fa servir el resultat de l'apartat b. Si no el tens, continua igualment: a la PAU es puntua.

Resol-lo en paper, com a l'examen, explicant què fas i per què. Després escriu aquí els teus resultats.

Els teus resultats

En quin valor de p s’assoleix el màxim?

Valor màxim de f(p)

Abans de veure la solució, marca el que creus que has fet béDerives f(p) correctament. +0,25Obtens el punt crític on hi ha el màxim. +0,25Justifiques que és un màxim (signe de f′ o f″). +0,25Calcules el valor màxim. +0,25